Formula barometrica

Esempio — Formula barometrica

La pressione atmosferica $P$ varia con l’altitudine $h$ secondo: $\frac{dP}{dh} = -\frac{0{,}028\cdot g}{R\,T}\,P = -\alpha\,P,$ dove $g=9{,}81$ m/s², $R=8{,}314$ J/(mol$\cdot$K), $T$ è la temperatura assoluta.

Separiamo: $\dfrac{dP}{P}=-\alpha\,dh$, da cui $P(h) = P_0\,e^{-\alpha h}$.

Con $T=293$ K: $\alpha = \dfrac{0{,}028\times 9{,}81}{8{,}314\times 293} \approx 1{,}13\times 10^{-4}$ m$^{-1}$. Quindi: $\boxed{P(h) = 101\,325\cdot e^{-0{,}000113\,h}}$ (con $h$ in metri, $P$ in Pascal).

Esempio numerico. A che altitudine la pressione è metà di quella al livello del mare? $e^{-0{,}000113\,h} = 0{,}5 \implies h = \frac{\ln 2}{0{,}000113} \approx 6\,135\text{ m}.$ È un risultato ragionevole: in cima all’Everest, a circa $8\,848$ m, la pressione è circa un terzo di quella al livello del mare.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Decadimento · Formula barometrica · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Calcolare · Integrare · Modellizzare