Massa-molla senza attrito

Le equazioni differenziali del secondo ordine descrivono un’enorme varietà di fenomeni fisici. Il primo esempio-chiave è la massa-molla ideale.

Esempio 1 — Massa-molla senza attrito

Una massa $m$ vincolata a una molla di costante $k$ obbedisce alla seconda legge di Newton $m\ddot x = -kx$, ossia: $\ddot x + \omega_0^2 x = 0, \qquad \omega_0 = \sqrt{k/m}.$ Equazione caratteristica $\lambda^2 + \omega_0^2 = 0$, radici $\lambda = \pm i\omega_0$. Soluzione generale: $x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t) = C\cos(\omega_0 t + \varphi).$ Con condizioni iniziali $x(0)=x_0$, $\dot x(0)=0$: $A = x_0$, $B=0$, dunque $x(t) = x_0\cos(\omega_0 t)$.

Il periodo è $T = 2\pi/\omega_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$: massa più grande $\Rightarrow$ periodo più lungo; molla più rigida $\Rightarrow$ periodo più corto. Numericamente, con $m=0{,}5$ kg e $k=200$ N/m si ha $\omega_0 = 20$ rad/s e $T \approx 0{,}31$ s.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Condizione iniziale · Edo lineare secondo ordine · Equazione caratteristica · Oscillatore armonico
Funzioni: Coseno
Competenze: Modellizzare · Risolvere equazioni