Conversione tra polari e cartesiane

Le due descrizioni di un punto, polare e cartesiana, si convertono l’una nell’altra con seno, coseno e l’arcotangente.

Proprietà — Conversione polari ↔ cartesiane

\text{(polari} \to \text{cartesiane)}\quad & x = \rho\cos\theta, & y = \rho\sin\theta. \\ \text{(cartesiane} \to \text{polari)}\quad & \rho = \sqrt{x^2+y^2}, & \theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\ \text{(con scelta del quadrante)}. \end{aligned}$$

Attenzione — Il quadrante nell'inversione

$\arctan(y/x)$ restituisce un angolo in $(-\pi/2, \pi/2)$: bisogna correggerlo guardando i segni di $x$ e $y$. In molti linguaggi (Python, C, MATLAB) esiste la funzione atan2$(y,x)$ che fa la cosa giusta restituendo $\theta\in(-\pi,\pi]$.

Esempio — Conversione nei due sensi

$P(x,y) = (1,\sqrt 3)$ in polari: $\rho = \sqrt{1+3} = 2$, $\theta = \arctan(\sqrt 3) = \pi/3$ (primo quadrante). Coordinate polari: $(2,\pi/3)$.

$Q(\rho,\theta) = (4,\,3\pi/4)$ in cartesiane: $x = 4\cos(3\pi/4) = -2\sqrt 2$, $y = 4\sin(3\pi/4) = 2\sqrt 2$. Quindi $Q = (-2\sqrt 2,\,2\sqrt 2)$.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Arcotangente · Coordinate cartesiane · Coordinate polari · Piano cartesiano
Metodi: Conversione polari cartesiano
Competenze: Calcolare · Ragionare per casi · Usare formule