Metodo di separazione delle variabili

In sintesi — Metodo di risoluzione

Usando la notazione di Leibniz $y' = \dfrac{dy}{dx}$, si “separa”: $\frac{dy}{dx} = f(x)\cdot g(y) \implies \frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx.$ Integrando entrambi i membri: $\int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx.$ La costante di integrazione $C$ si determina con una condizione iniziale $y(x_0)=y_0$ (problema di Cauchy).

Osservazione — Il "trucco di Leibniz" delle ODE

Separare $\dfrac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ in $\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$ è lecito proprio perché la notazione di Leibniz tratta $dy$ e $dx$ come “frazioni” — lo stesso principio visto per la chain rule e per la sostituzione negli integrali. È tutto coerente.

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Condizione iniziale · Problema di cauchy · Variabili separabili
Competenze: Integrare · Risolvere equazioni
Persone: Augustin-Louis Cauchy · Gottfried Leibniz