Idea 3: applicazione di una funzione monotona (disequazioni)

Per le disequazioni la regola dell’idea precedente si raffina. Applicando a entrambi i membri una funzione strettamente crescente si conserva il verso della disequazione; applicandone una strettamente decrescente si inverte. È questo il motivo per cui, con le disequazioni esponenziali e logaritmiche, bisogna sempre chiedersi se la base è maggiore o minore di $1$.

In sintesi

• $a^x$ con $a>1$: crescente $\Rightarrow$ verso conservato.
• $a^x$ con $0<a<1$: decrescente $\Rightarrow$ verso invertito.
• $\log_a$ con $a>1$: crescente $\Rightarrow$ verso conservato.
• $\log_a$ con $0<a<1$: decrescente $\Rightarrow$ verso invertito.
• $t\mapsto t^2$ su $[0,+\infty)$: crescente $\Rightarrow$ si può elevare al quadrato conservando il verso, ma solo se entrambi i membri sono $\ge 0$.

Collegamenti

Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Disequazione esponenziale · Disequazione logaritmica · Funzione monotona
Funzioni: Funzione esponenziale · Funzione logaritmica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni