Interesse semplice, composto e continuo

Un capitale iniziale $C_0$ investito al tasso annuo $r$ può rendere in tre modi diversi, a seconda di come e quando gli interessi vengono reinvestiti.

Regime	Formula dopo $t$ anni	Note
Semplice	$C(t)=C_0(1+rt)$	interessi NON reinvestiti
Composto annuo	$C(t)=C_0(1+r)^t$	interessi reinvestiti ogni anno
Composto $n$ volte all’anno	$C(t)=C_0\bigl(1+\frac{r}{n}\bigr)^{nt}$	capitalizzazione frazionata
Continuo	$C(t)=C_0\,e^{rt}$	limite $n\to\infty$ del precedente

Esempio — 1000 euro al 5% per 10 anni

Confronto numerico:

• Semplice: $1000\cdot(1+0{,}5)=1500$.
• Composto annuo: $1000\cdot 1{,}05^{10}\approx 1628{,}89$.
• Composto mensile: $1000\cdot (1+0{,}05/12)^{120}\approx 1647{,}01$.
• Continuo: $1000\cdot e^{0{,}5}\approx 1648{,}72$.

La capitalizzazione continua è il limite a cui tendono le composte sempre più frequenti. In Quinta vedremo che il limite $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e$ è esattamente lo stesso conto, fatto al tasso del $100\%$.

Il numero $e\approx 2{,}718$, detto numero di Nepero, è la base “naturale” degli esponenziali ed emerge proprio da questo passaggio al limite della capitalizzazione continua.

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Capitalizzazione continua · Interesse composto · Numero di nepero
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Modellizzare · Usare formule
Persone: John Napier (Nepero)