Decadimento radioattivo e datazione al carbonio-14

Un nucleo radioattivo decade con una probabilità per unità di tempo che è la stessa per ogni nucleo: ne segue che la frazione di nuclei sopravvissuti dopo un tempo $\tau$ (tempo di dimezzamento) si riduce a metà. Dopo $n$ dimezzamenti restano $N_0/2^n$ nuclei.

Esempio — Datazione al carbonio-14

Il $^{14}$C ha tempo di dimezzamento $\tau\approx 5730$ anni. In un essere vivente la concentrazione di $^{14}$C rispetto al $^{12}$C è circa $r_0=1{,}3\cdot 10^{-12}$. In una reliquia di osso si misura una concentrazione $r=0{,}25\,r_0$. Quanti anni ha?

Dal modello: $r(t)/r_0 = (1/2)^{t/\tau}$. Quindi $(1/2)^{t/\tau} = 0{,}25 = (1/2)^2 \implies t/\tau = 2 \implies t = 2\tau \approx 11\,460 \text{ anni}.$

Esempio — Caso non intero: $0{,}3\,r_0$

$(1/2)^{t/\tau}=0{,}3 \implies t/\tau = \log_{1/2}(0{,}3) = -\dfrac{\ln 0{,}3}{\ln 2} = \dfrac{\ln(10/3)}{\ln 2} \approx 1{,}737$, dunque $t\approx 1{,}737\cdot 5730 \approx 9\,950 \text{ anni}$.

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