Esempio — Secante, tangente, esterna

Studiando il segno del discriminante in funzione di $k$ si classificano, tutte insieme, le rette del fascio secondo la loro posizione rispetto alla curva: secanti, tangenti o esterne.

Esempio — Secante, tangente, esterna

Nel fascio proprio $f_k:\ k(3x-2y+1) + (6x-4y+1) = 0$ e data la parabola $p: y = 2x^2 + 7$, determinare i valori di $k$ per cui la retta del fascio è (a) tangente, (b) secante, (c) esterna a $p$.

Sistema: $\begin{cases} y = 2x^2 + 7 \\ k(3x-2y+1) + 6x -4y +1 = 0\end{cases}$ Sostituendo $y$ nella seconda equazione otteniamo un polinomio di secondo grado in $x$ con coefficienti dipendenti da $k$; il suo discriminante $\Delta(k)$ è, a sua volta, un polinomio in $k$. Si ha:

• $\Delta(k) > 0$: due intersezioni distinte $\Rightarrow$ secante;
• $\Delta(k) = 0$: intersezione doppia $\Rightarrow$ tangente;
• $\Delta(k) < 0$: nessuna intersezione $\Rightarrow$ esterna.

Lo studio del segno di $\Delta(k)$ dà i tre sottoinsiemi di valori di $k$ corrispondenti alle tre condizioni. Al termine, come sempre, va verificato se la generatrice esclusa dal fascio (quella che si otterrebbe formalmente con $k\to\infty$) è anch’essa soluzione.

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Discriminante · Fascio di rette · Fascio proprio · Parametro del fascio · Retta · Retta esterna · Retta secante · Tangenza
Funzioni: Parabola · Retta
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Risolvere sistemi