Dimostrazione del teorema fondamentale

La dimostrazione parte dal rapporto incrementale della funzione integrale e usa il teorema della media integrale per riconoscere, al limite, il valore $f(x)$.

Dimostrazione

Calcoliamo il rapporto incrementale di $F$: $\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\left[\int_a^{x+h}f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt\right] = \frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$

Ora $\dfrac{1}{h}\displaystyle\int_x^{x+h}f(t)\,dt$ è esattamente la media integrale di $f$ sull’intervallo $[x, x+h]$. Per il teorema della media integrale (appena dimostrato), esiste un punto $c_h\in[x, x+h]$ tale che: $\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt = f(c_h).$

Quando $h\to 0$, l’intervallo $[x, x+h]$ si “schiaccia” e $c_h\to x$. Poiché $f$ è continua, $f(c_h)\to f(x)$. Dunque: $F'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{h\to 0}f(c_h) = f(x). \qquad \blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Funzione integrale · Teorema della media integrale · Teorema fondamentale del calcolo
Competenze: Dimostrare · Integrare