Integrale per sostituzione

Testo

Calcolare $\displaystyle\int_0^\pi x\sin(x^2)\,dx$ con la sostituzione $t=x^2$.

Soluzione

Poniamo $t = x^2$, $dt = 2x\,dx$, quindi $x\,dx = \dfrac{dt}{2}$: $\int x\sin(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\int\sin t\,dt = -\frac{1}{2}\cos t = -\frac{1}{2}\cos(x^2).$ Valutando agli estremi $x=0$ e $x=\pi$: $\int_0^\pi x\sin(x^2)\,dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(x^2)\right]_0^\pi = \frac{1}{2}\bigl[1-\cos(\pi^2)\bigr] \approx \boxed{0{,}95}.$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Integrale per sostituzione
Metodi: Integrale sostituzione
Competenze: Calcolare · Integrare
Tipo di esercizio: Calcolo integrale