Volume di rotazione via Cavalieri

Testo

Calcolare il volume del solido di rotazione, attorno all’asse $x$, della regione $0\le y\le f(x)$ con $a\le x\le b$, ammettendo che la sezione a quota $x$ sia un disco di raggio $f(x)$. (Stai applicando Cavalieri al continuo.)

Soluzione

Affettiamo il solido con piani perpendicolari all’asse $x$. A quota $x$ la sezione è un disco di raggio $f(x)$, dunque di area $A(x) = \pi\bigl[f(x)\bigr]^2.$ Il principio di Cavalieri “al continuo” afferma che il volume è l’accumulazione delle aree delle sezioni lungo $x$: $\boxed{V = \int_a^b A(x)\,dx = \pi\int_a^b\bigl[f(x)\bigr]^2\,dx.}$ È esattamente la formula del metodo dei dischi.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Metodo dei dischi · Principio di cavalieri · Volume di rotazione
Metodi: Cavalieri principio
Competenze: Dimostrare · Integrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione