Integrali impropri

L’integrale si estende anche a intervalli illimitati, definendolo come limite di un integrale ordinario: $\int_a^{+\infty}f\,dx = \lim_{t\to+\infty}\int_a^t f\,dx.$ L’integrale improprio converge se il limite è finito, altrimenti diverge.

Un criterio rapido molto usato riguarda le potenze: $\int_1^\infty x^{-p}\,dx \quad\text{converge per } p>1,\quad\text{diverge per } p\le 1.$

Esempio — Due casi al confronto

$\int_1^\infty\frac{dx}{x^2} = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty = 0-(-1) = 1 \quad\text{(converge)}.$ $\int_1^\infty\frac{dx}{x} = [\ln x]_1^\infty = +\infty \quad\text{(diverge)}.$

Lo stesso schema (integrale come limite) si applica anche quando la funzione ha un asintoto verticale in un estremo del dominio.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Integrale improprio · Limite
Competenze: Analisi casi limite · Calcolare limiti · Integrare