Volumi di rotazione - metodo dei gusci cilindrici

Quando si ruota la regione sotto $f(x)\ge 0$ attorno all’asse $y$, il metodo dei dischi richiederebbe di invertire $f$. Il metodo dei gusci cilindrici evita l’inversione: si “srotola” ogni cilindretto in un rettangolo di larghezza $2\pi x$, altezza $f(x)$ e spessore $dx$: $dV = 2\pi x\cdot f(x)\,dx \implies \boxed{V = 2\pi\int_a^b x\cdot f(x)\,dx}.$

Srotolamento: il guscio cilindrico (a sinistra) diventa un rettangolo (a destra) di base $2\pi x$ e altezza $f(x)$.

Esempio — Volume del cono con i gusci

Retta $y = h(1-x/r)$ ruotata attorno all’asse $y$: $V = 2\pi\int_0^r x\cdot h(1-x/r)\,dx = 2\pi h\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3r}\right]_0^r = \frac{1}{3}\pi r^2 h.$

Esempio — Paraboloide attorno all'asse $y$ (gusci)

$V = 2\pi\int_0^4 x\sqrt{x}\,dx = 2\pi\int_0^4 x^{3/2}\,dx = 2\pi\left[\frac{2x^{5/2}}{5}\right]_0^4 = \frac{128\pi}{5}.$

Esempio — Confronto dischi vs gusci

Attorno all’asse $x$ (dischi): $V = \pi\int_0^2 x^4\,dx = \pi\cdot\dfrac{32}{5} = \dfrac{32\pi}{5}$.

Attorno all’asse $y$ (gusci): $V = 2\pi\int_0^2 x\cdot x^2\,dx = 2\pi\int_0^2 x^3\,dx = 8\pi$.

I volumi sono diversi perché i solidi sono diversi (assi di rotazione diversi). In entrambi i casi il metodo “naturale” è il più efficiente: dischi per la rotazione attorno all’asse su cui è espressa la funzione, gusci per l’altro asse.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Metodo dei gusci · Volume di rotazione
Competenze: Calcolare · Integrare