Integrazione per sostituzione

Quando l’integrando contiene una funzione composta la cui “derivata interna” compare (a meno di costanti), conviene cambiare variabile. Il metodo si organizza in cinque passaggi.

In sintesi — I 5 passaggi

1. Scegliere la sostituzione $t = g(x)$.
2. Calcolare il differenziale $dt = g'(x)\,dx$.
3. Ricavare $dx$: $dx = \dfrac{dt}{g'(x)}$ e sostituire.
4. Calcolare la primitiva in $t$.
5. Sostituzione inversa $t = g(x)$.

Esempio — $\int_0^\pi x\sin(x^2)\,dx$

Poniamo $t = x^2$, $dt = 2x\,dx$, $dx = dt/(2x)$: $\int_0^\pi x\sin(t)\cdot\frac{dt}{2x} = \frac{1}{2}\int\sin(t)\,dt = \frac{1}{2}\bigl[-\cos(t)\bigr] = \frac{1}{2}\bigl[-\cos(x^2)\bigr]_0^\pi = \frac{1}{2}\bigl[1-\cos(\pi^2)\bigr].$

Esempio — $\int_0^1\dfrac{x}{1+x^2}\,dx$

Poniamo $t=1+x^2$, $dt=2x\,dx$: $\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t} = \frac{1}{2}\ln|t| = \frac{1}{2}\bigl[\ln(1+x^2)\bigr]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 2.$

Il segnale che la sostituzione funziona è che, dopo il passaggio 3, la variabile $x$ scompare completamente e resta un integrale nella sola $t$.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
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