L'area sotto una curva

Per capire a cosa serve l’integrale definito, poniamoci un problema concreto: calcolare l’area di una regione delimitata da una curva.

Esempio — L'area sotto $y = x^4$ tra $x=0$ e $x=a$

Vogliamo calcolare l’area della porzione di piano compresa tra la curva $y = x^4$, l’asse $x$ e le rette $x=0$ e $x=a$: $A = \int_0^a x^4\,dx = \sum \text{(rettangolini)} = \,?$ Come si calcola questa somma? Sommare “a mano” infiniti rettangolini è impossibile. Qui entra in gioco la primitiva, che trasforma questa somma infinita in una semplice sottrazione.

La risposta a questo problema è sviluppata nell’atomo Il calcolo dell’area con la primitiva.

Prova tu: aumenta il numero $n$ di rettangoli e osserva la somma delle loro aree avvicinarsi sempre di più all’area esatta sotto la curva.

Somme di Riemann per $f(x) = \tfrac{1}{2}x^2 + 1$ su $[0,4]$: aumenta $n$ e confronta la somma $S(n)$ con il valore esatto $A = \int_0^4 f(x)\,dx \approx 14{,}667$.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Area sottesa · Integrale definito
Competenze: Integrare