Studio di funzione con parametro

Negli esercizi di maturità la funzione dipende spesso da un parametro reale $m$. Lo studio richiede di distinguere i casi possibili per $m$, perché il dominio, il segno, i limiti e la derivata possono cambiare qualitativamente al variare di $m$.

La strategia è ragionare per casi: si individuano i valori del parametro che modificano la struttura della funzione (per esempio quelli che annullano un denominatore o cambiano il segno di un’espressione), si suddivide l’insieme dei valori di $m$ in intervalli e per ciascuno si conduce uno studio completo con il proprio grafico. Il punto interessante è la transizione qualitativa: il valore di $m$ in cui il comportamento cambia radicalmente, per esempio da “con asintoto verticale” a “senza”.

Esempio — $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+m+|m|}$

Caso $m<0$: $|m|=-m$, quindi $m+|m|=0$ e $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2}$. Condizione di esistenza $x\ne 0$: la funzione ha un asintoto verticale in $x=0$ e un asintoto orizzontale $y=0$, con $f'(x) = -\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}$. Lo studio completo (simmetrie, segno con $f>0$ per $x>-\tfrac{1}{2}$ e $x\ne 0$, derivata, flesso in $x=-\tfrac{3}{2}$) porta al grafico.

Caso $m>0$: $m+|m|=2m>0$ e $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+2m}$. Il denominatore è $>0$ per ogni $x$: dominio $\mathbb{R}$, nessun asintoto verticale. Il comportamento qualitativo è completamente diverso.

Caso $m=0$: $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2}$, uguale al caso $m<0$.

Per ciascun caso si conduce lo studio completo e si disegna il grafico. La transizione qualitativa avviene in $m=0$: per $m<0$ c’è un asintoto verticale, per $m>0$ no.

Nella simulazione seguente il parametro $k$ controlla la comparsa e la posizione dei punti stazionari della famiglia di cubiche $f(x)=x^3-kx$: per $k\le 0$ la funzione è sempre crescente (nessun estremo), per $k>0$ compaiono un massimo e un minimo in $x=\pm\sqrt{k/3}$, mentre il flesso resta in $x=0$.

Trascina il parametro $k$ e osserva come si spostano i punti stazionari di $f(x)=x^3-kx$.

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