Studio con parametro x su (x²+k)

Testo

Studio con parametro: $f(x) = \dfrac{x}{x^2+k}$ con $k>0$. Come cambia il grafico al variare di $k$?

Soluzione

Dominio: $\mathbb{R}$ (poiché $k>0$, il denominatore è sempre positivo). Simmetria: $f(-x)=-f(x)$, funzione dispari. Asintoto orizzontale: $y=0$.

Derivata prima: $f'(x)=\dfrac{(x^2+k)-x\cdot 2x}{(x^2+k)^2}=\dfrac{k-x^2}{(x^2+k)^2}$. Si annulla in $x=\pm\sqrt{k}$:

• massimo in $x=\sqrt{k}$, con $f(\sqrt k)=\dfrac{\sqrt k}{2k}=\dfrac{1}{2\sqrt k}$;
• minimo in $x=-\sqrt{k}$, con $f=-\dfrac{1}{2\sqrt k}$.

Effetto di $k$: al crescere di $k$ i punti di estremo $\pm\sqrt k$ si allontanano dall’origine e la loro altezza $\dfrac{1}{2\sqrt k}$ diminuisce: il grafico mantiene la stessa forma (dispari, a “gobba” positiva e negativa) ma si appiattisce e si allarga. I flessi sono in $x=0$ e $x=\pm\sqrt{3k}$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Asintoto · Massimo minimo · Parametro
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione