Derivabilità di x·∛x

Testo

Mostrare che $f(x) = x\,\sqrt[3]{x}$ è derivabile in tutto $\mathbb{R}$, mentre $g(x) = \sqrt[3]{x}\,/\,x$ ha un comportamento patologico in $0$ (specificare quale).

Soluzione

Funzione $f$: $f(x) = x\cdot x^{1/3} = x^{4/3}$. Allora $f'(x) = \frac{4}{3}x^{1/3} = \frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$, che è definita e continua per ogni $x\in\mathbb{R}$ (in particolare $f'(0)=0$). Dunque $f$ è derivabile in tutto $\mathbb{R}$.

Funzione $g$: $g(x) = \dfrac{x^{1/3}}{x} = x^{1/3-1} = x^{-2/3} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$. Per $x\to 0$ si ha $g(x)\to +\infty$: la funzione non è definita né continua in $0$ (asintoto verticale). Non si pone quindi neppure il problema della derivabilità: la patologia è una discontinuità (divergenza) in $0$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Continuita · Punto non derivabile
Competenze: Derivare · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Calcolo derivata