Parametro per la derivabilità

Testo

Per quale valore del parametro $a$ la funzione $f(x) = \begin{cases} ax & x\le 0,\\ x^2 & x>0\end{cases}$ è derivabile in $x_0 = 0$?

Soluzione

Continuità in $0$: $f(0^-)=a\cdot 0=0$, $f(0^+)=0^2=0$, $f(0)=0$: continua per ogni $a$.

Derivate laterali: $f'_-(0) = \lim_{x\to 0^-}\frac{ax-0}{x} = a, \qquad f'_+(0) = \lim_{x\to 0^+}\frac{x^2-0}{x} = \lim_{x\to 0^+} x = 0.$ La funzione è derivabile in $0$ se e solo se $f'_-(0)=f'_+(0)$, cioè $a = 0$. Quindi $\boxed{a=0}$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Continuita · Derivata laterale
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Calcolo derivata