Punto angoloso di |ln x|

Testo

Verificare che $f(x) = |\ln x|$ ha un punto angoloso in $x = 1$ e calcolare le due semitangenti.

Soluzione

In $x=1$ si ha $\ln 1 = 0$, quindi $f(1)=0$ e $f$ è continua. Distinguo i due lati:

• Per $x>1$: $\ln x>0$, quindi $f=\ln x$, $f'(x)=1/x$, da cui $f'_+(1)=1$.
• Per $x<1$ (con $x>0$): $\ln x<0$, quindi $f=-\ln x$, $f'(x)=-1/x$, da cui $f'_-(1)=-1$.

Le derivate laterali sono $1$ e $-1$: finite e diverse, dunque punto angoloso. Le due semitangenti in $(1,0)$ sono: $y = 1\cdot(x-1) = x-1 \quad (\text{destra}), \qquad y = -1\cdot(x-1) = 1-x \quad (\text{sinistra}).$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata laterale · Punto angoloso
Metodi: Punto non derivab angoloso
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Calcolo derivata