N pile in serie — corrente massima

Un’applicazione dell’ottimizzazione alla fisica: si cerca la configurazione di un insieme di pile che massimizza la corrente erogata su un carico.

Esempio — $N$ pile in serie: corrente massima

$N$ pile identiche (tensione $E$, resistenza interna $r$) sono collegate in $n$ file parallele, ciascuna con $N/n$ pile in serie, al carico $R$. La corrente è: $i = \frac{N\cdot n\cdot E}{N\cdot R + n^2\cdot r}.$ Per quale $n$ la corrente è massima?

Soluzione

Si deriva rispetto a $n$ (trattando $n$ come variabile continua) con la regola del quoziente e si pone $i'(n)=0$. Posto il numeratore costante $NE$ e il denominatore $D(n)=NR+n^2r$: $i'(n) = NE\cdot\frac{D(n) - n\cdot D'(n)}{D(n)^2} = NE\cdot\frac{(NR+n^2r) - n\cdot 2nr}{D(n)^2} = NE\cdot\frac{NR - n^2 r}{D(n)^2}.$ $i'(n)=0 \iff NR = n^2 r \iff n = \sqrt{NR/r}$: la corrente è massima quando la resistenza interna complessiva ($n^2 r/N$ … ) eguaglia il carico, cioè quando le file parallele sono $\boxed{n = \sqrt{NR/r}}$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Funzione obiettivo · Massimo minimo
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Derivare · Modellizzare