Classificare la discontinuità di |x|/x

Testo

Classificare i punti di discontinuità di $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$.

Soluzione

La funzione è definita per $x\ne 0$. Esplicitando il valore assoluto: $f(x) = \frac{|x|}{x} = \begin{cases} \dfrac{x}{x}=1 & x>0 \\[4pt] \dfrac{-x}{x}=-1 & x<0 \end{cases}$ Quindi $f$ vale costantemente $+1$ a destra dello zero e $-1$ a sinistra. I limiti laterali in $x=0$ sono $\lim_{x\to 0^+}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 0^-}f(x)=-1.$ Sono entrambi finiti ma diversi: in $x=0$ c’è una discontinuità di $\boxed{\text{prima specie (salto)}}$, di ampiezza $|1-(-1)|=2$. È l’unico punto di discontinuità, poiché altrove $f$ è costante e quindi continua.

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Discontinuita · Discontinuita prima specie · Limite destro e sinistro · Valore assoluto
Competenze: Calcolare limiti · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Lettura grafico