Parametri per continuità e derivabilità

Testo

Trovare $a$ e $b$ affinché $f(x) = \begin{cases}ax+1 & x\le 2 \\ x^2+b & x>2\end{cases}$ sia continua e derivabile in $x=2$.

Soluzione

Continuità in $x=2$. Il valore da sinistra è $f(2)=2a+1$; il limite da destra è $\lim_{x\to 2^+}(x^2+b)=4+b$. Serve 2a+1 = 4+b. \tag{1}

Derivabilità in $x=2$. Le derivate dei due tratti sono $f'(x)=a$ per $x<2$ e $f'(x)=2x$ per $x>2$, il cui limite destro è $2\cdot 2=4$. Serve che le pendenze coincidano: a = 4. \tag{2}

Sostituendo $(2)$ in $(1)$: $\ 2(4)+1 = 4+b \Rightarrow 9 = 4+b \Rightarrow b=5$.

Dunque $\boxed{a=4,\ b=5}$. Verifica: da sinistra $f(2)=9$, da destra $4+5=9$ (continua); pendenze $4$ e $4$ (derivabile).

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Continuita · Derivabilita · Funzione definita a tratti
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Risoluzione sistema