Quando ha senso il limite

Testo

Per ciascuna funzione, indicare se ha senso fare il limite nel punto specificato:

• (a) $f(x) = \ln(x^2-4)$ in $x_0 = 2$;
• (b) $f(x) = \dfrac{1}{x-1}$ in $x_0 = 1$;
• (c) $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ in $x_0 = 2$;
• (d) $f(x) = \tan x$ in $x_0 = \pi/2$.

Soluzione

Ha senso fare il limite in $x_0$ se e solo se $x_0$ è di accumulazione per il dominio.

• (a) Dominio: $x^2-4>0$, cioè $x<-2$ oppure $x>2$. Il punto $2$ è di accumulazione (a destra ci sono punti del dominio vicini quanto si vuole): ha senso (limite da destra).
• (b) Dominio: $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Il punto $1$ è di accumulazione: ha senso.
• (c) Dominio: $1-x^2\ge 0$, cioè $[-1,1]$. Il punto $2$ non è di accumulazione (l’intorno $(1{,}5;\ 2{,}5)$ non contiene punti del dominio): non ha senso.
• (d) Dominio: $\mathbb{R}\setminus\{\pi/2+k\pi\}$. Il punto $\pi/2$ è escluso dal dominio ma è di accumulazione per esso: ha senso.

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Dominio · Punto di accumulazione
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Vero o falso