Punti di accumulazione di insiemi

Testo

Indicare tutti i punti di accumulazione di:

• (a) $A = [0,2)$;
• (b) $B = \{(-1)^n + 1/n : n\ge 1\}$;
• (c) $C = \mathbb{Q}\cap[0,1]$;
• (d) $D = \{n^2 : n\in\mathbb{N}\}$.

Soluzione

• (a) L’intervallo $[0,2)$ ha come punti di accumulazione tutto l’intervallo chiuso: l’insieme è $[0,2]$. In particolare $2$ è di accumulazione pur non appartenendo ad $A$.
• (b) Separiamo i termini pari e dispari. Per $n$ pari: $(-1)^n+1/n = 1+1/n \to 1$. Per $n$ dispari: $-1+1/n \to -1$. I punti di accumulazione sono $\boxed{\{-1,\ 1\}}$.
• (c) I razionali di $[0,1]$ sono densi in $[0,1]$: ogni reale di $[0,1]$ è di accumulazione. L’insieme dei punti di accumulazione è $[0,1]$.
• (d) I quadrati $0,1,4,9,16,\ldots$ sono sempre più distanziati: ogni punto è isolato e non esiste alcun punto di accumulazione finito (solo $+\infty$).

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Punto di accumulazione
Competenze: Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Vero o falso