Prodotto vettoriale

Definizione — Prodotto vettoriale

$\vec u\times\vec v = (u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1).$

• Modulo: $|\vec u\times\vec v| = |\vec u|\,|\vec v|\sin\theta$.
• Direzione: perpendicolare al piano di $\vec u$ e $\vec v$, con verso dato dalla regola della mano destra.
• Anticommutativo: $\vec u\times\vec v = -\,\vec v\times\vec u$.

A differenza del prodotto scalare, il prodotto vettoriale restituisce un vettore: è lo strumento per costruire una direzione perpendicolare a due vettori dati.

Proprietà — Parallelismo e prodotto misto

• $\vec u\times\vec v = \vec 0 \iff \vec u\parallel\vec v$.
• Il prodotto misto $\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)$ dà il volume (con segno) del parallelepipedo costruito su $\vec u,\vec v,\vec w$.

Esempio

Siano $\vec u=(1;-2;1)$ e $\vec v=(-1;1;3)$. Allora $\vec u\times\vec v = (-2\cdot 3-1\cdot 1,\; 1\cdot(-1)-1\cdot 3,\; 1\cdot 1-(-2)(-1)) = (-7;-4;-1).$ Verifica di perpendicolarità: $(-7;-4;-1)\cdot(1;-2;1) = -7+8-1 = 0$  ✓.

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Prodotto misto · Prodotto vettoriale · Vettore
Competenze: Geometria analitica · Usare formule