Parametrizzazione di curve nel piano

La forma esponenziale $z(\theta)=\rho\,e^{i\theta}$ è già una parametrizzazione: al variare di $\theta\in[0,2\pi)$, $z(\theta)$ descrive la circonferenza di raggio $\rho$. È un punto di vista cinematico: la curva è l’immagine del moto di un punto al variare di un parametro. Vediamo tre esempi.

Cerchio. Centro $(x_0,y_0)$, raggio $r$: $\begin{cases} x(t) = x_0 + r\cos t \\ y(t) = y_0 + r\sin t\end{cases}, \quad t\in[0,2\pi).$ Verifica: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2(\cos^2 t + \sin^2 t) = r^2$. La parametrizzazione percorre il cerchio in senso antiorario una volta sola.

Ellisse. Forma canonica $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$: $\begin{cases} x(t) = a\cos t \\ y(t) = b\sin t\end{cases}, \quad t\in[0,2\pi).$ Attenzione: $t$ non è l’angolo geometrico del punto rispetto al centro (a meno che $a=b$). È un parametro angolare ausiliario: nel formalismo astronomico delle orbite si chiama anomalia eccentrica, secondo la terminologia kepleriana ripresa da Stillwell.

Curva di Lissajous. Due oscillazioni perpendicolari di frequenze diverse: $\begin{cases} x(t) = A\sin(\omega_1 t) \\ y(t) = B\sin(\omega_2 t + \delta)\end{cases}.$ Se $\omega_1/\omega_2$ è razionale, la curva è chiusa; se irrazionale, riempie densamente il rettangolo $[-A,A]\times[-B,B]$. Il caso $\omega_2/\omega_1 = 1{:}1$ con $\delta=\pi/2$ dà una circonferenza ($A=B$) o un’ellisse ad assi paralleli; il rapporto $1{:}2$ dà la classica figura a otto.

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Anomalia eccentrica · Circonferenza · Curva di lissajous · Ellisse · Forma esponenziale · Parametrizzazione
Competenze: Modellizzare
Persone: Johannes Kepler (Keplero) · Lissajous