Scomposizione con la duplicazione

Testo

Risolvere la disequazione (suggerimento: formula di duplicazione): $\sin(2x) + \cos x > 0$

Soluzione

Applicando la duplicazione $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$ e raccogliendo $\cos x$: $2\sin x\cos x + \cos x = \cos x\,(2\sin x + 1) > 0$ Si studia il segno dei due fattori su $[0,2\pi)$.

• $\cos x > 0$ in $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$; si annulla in $\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}$.
• $2\sin x + 1 > 0 \iff \sin x > -\dfrac{1}{2}$, cioè in $\left[0,\dfrac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\dfrac{11\pi}{6},2\pi\right)$; si annulla in $\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$.

Tabella del segno:

$x$	$\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)$	$\left(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{7\pi}{6}\right)$	$\left(\tfrac{7\pi}{6},\tfrac{3\pi}{2}\right)$	$\left(\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{11\pi}{6}\right)$	$\left(\tfrac{11\pi}{6},2\pi\right)$
$\cos x$	$+$	$-$	$-$	$+$	$+$
$2\sin x+1$	$+$	$+$	$-$	$-$	$+$
prodotto	$+$	$-$	$+$	$-$	$+$

La disequazione $>0$ è soddisfatta (escludendo gli zeri) in: $\boxed{\;x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{6},2\pi\right)\;}$ più i corrispondenti archi ottenuti per periodicità ($+2k\pi$).

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Disequazione goniometrica · Formule di duplicazione · Scomposizione in fattori · Tabella del segno
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione