Equazioni goniometriche elementari

Le equazioni goniometriche più semplici hanno una funzione goniometrica uguagliata a una costante. Le loro soluzioni si ottengono con le funzioni inverse e, per la periodicità, formano una o più famiglie infinite di angoli.

In sintesi — Equazioni elementari

• $\sin x = k$ (con $|k|\le 1$): $x = \arcsin k + 2k_1\pi$ oppure $x = \pi - \arcsin k + 2k_1\pi$, con $k_1\in\mathbb{Z}$. Se $|k|>1$, nessuna soluzione.
• $\cos x = k$ (con $|k|\le 1$): $x = \pm \arccos k + 2k_1\pi$, con $k_1\in\mathbb{Z}$. Se $|k|>1$, nessuna soluzione.
• $\tan x = k$: $x = \arctan k + k_1\pi$, con $k_1\in\mathbb{Z}$ (sempre una sola famiglia, periodo $\pi$).

Esempio

Risolvere $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Poiché $\arcsin\left(\sqrt{3}/2\right) = \pi/3$, si ha $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{oppure}\quad x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi.$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni goniometriche
Concetti: Equazione elementare · Equazione goniometrica · Periodicita
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Goniometriche equazioni
Competenze: Risolvere equazioni · Usare formule