Esempi applicativi delle inverse

Le funzioni inverse goniometriche compaiono ovunque vada calcolato un angolo a partire da un rapporto. Tre esempi tipici.

Esempio 1 — Angolo di elevazione

Un osservatore vede la cima di una torre di altezza $h=30$ m, da distanza orizzontale $d=50$ m. L’angolo di elevazione $\theta$ rispetto al suolo soddisfa: $\tan\theta = \frac{h}{d} = \frac{30}{50} = 0{,}6 \;\Rightarrow\; \theta = \arctan(0{,}6) \approx 30{,}96°.$ A distanza $d=10$ m: $\theta = \arctan 3 \approx 71{,}57°$. Avvicinandosi alla torre, l’angolo cresce verso $90°$ (asintoto verticale di $\tan$).

Esempio 2 — Angolo tra due rette

Date $r: y = 2x+1$ e $s: y = -\tfrac12 x + 3$, con coefficienti angolari $m_1=2$, $m_2=-1/2$. Poiché $m_1 m_2 = -1$, le rette sono perpendicolari (angolo $90°$). In generale l’angolo $\alpha$ tra due rette si ottiene da $\tan\alpha = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1 m_2},\qquad \alpha = \arctan\!\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right).$ Se $1+m_1m_2 = 0$ il denominatore si annulla e l’angolo è $\pi/2$ (perpendicolarità).

Esempio 3 — Rifrazione (cenno)

La legge di Snell lega l’angolo di incidenza $\theta_i$ e di rifrazione $\theta_r$ all’indice $n$: $\sin\theta_i = n\sin\theta_r$. Conoscendo $\theta_i$ e $n$, l’angolo rifratto è $\theta_r = \arcsin\!\left(\sin\theta_i/n\right)$. Per acqua-aria $n=1{,}33$ e $\theta_i=45°$: $\theta_r = \arcsin(0{,}531) \approx 32{,}1°$.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Arcoseno · Arcotangente · Coefficiente angolare · Retta
Funzioni: Arcoseno · Arcotangente · Funzioni goniometriche inverse
Competenze: Geometria analitica · Modellizzare · Usare formule