Equazione irrazionale-esponenziale

Testo

Risolvi, o discuti l’esistenza delle soluzioni, dell’equazione: $\sqrt{x+3} = 2\cdot 3^x$

Soluzione

Riconoscere la strategia. A sinistra c’è una funzione irrazionale (che cresce lentamente), a destra una funzione esponenziale (che cresce molto rapidamente): non esiste una base comune né una sostituzione che riconduca a un’equazione algebrica. Non è quindi un’equazione risolubile “in forma chiusa”: la si affronta con lo studio qualitativo/grafico dei due membri. Condizione di esistenza: $x+3\ge 0$, cioè $x\ge -3$. Poniamo $h(x) = \sqrt{x+3} - 2\cdot 3^x$. La radice cresce lentamente, mentre $2\cdot 3^x$ cresce rapidamente e per $x$ grande domina; per $x$ vicino a $-3$ invece la radice è piccola ma positiva e l’esponenziale è ancora più piccolo. Quindi $h$ passa da positiva a negativa una sola volta: c’è una sola soluzione. Valutando in qualche punto: $h(-1)=\sqrt{2}-\tfrac{2}{3}>0$ e $h(0)=\sqrt{3}-2<0$. La soluzione è dunque compresa fra $-1$ e $0$ (numericamente $x\approx -0{,}15$), e si può approssimare per via grafica o numerica.

Collegamenti

Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Equazione esponenziale · Equazione irrazionale · Metodo grafico
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Lettura grafico · Risoluzione equazione