Regola del verso nelle disequazioni

Quando si “tolgono” i logaritmi da una disequazione, il verso della disuguaglianza tra gli argomenti dipende dalla base.

Proprietà — Verso e base

$\log_a f(x) \lessgtr \log_a g(x)$ equivale, entro le CE ($f, g > 0$), a:

• $f(x) \lessgtr g(x)$ se $a > 1$ (stesso verso);
• $f(x) \gtrless g(x)$ se $0 < a < 1$ (verso invertito).

Esempio — $\log_{1/2}(x-3) > 1$

CE: $x - 3 > 0 \iff x > 3$.

Scrittura uniforme: $1 = \log_{1/2}(1/2)$. Quindi $\log_{1/2}(x-3) > \log_{1/2}(1/2)$.

Base $<1$, verso invertito: $x - 3 < \tfrac{1}{2} \iff x < \tfrac{7}{2}$.

Intersezione con CE: $3 < x < \tfrac{7}{2}$, cioè $\boxed{x\in \left(3;\tfrac{7}{2}\right)}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazioni logaritmiche · Logaritmo · Monotonia
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni