La regola dei versi

La monotonia della funzione esponenziale detta il comportamento del verso quando si “toglie la base” in una disequazione.

Proprietà — Cambio di verso

Data una disequazione $a^{f(x)} \lessgtr a^{g(x)}$:

• se $a > 1$ (esponenziale crescente), il verso si conserva: la disequazione equivale a $f(x) \lessgtr g(x)$;
• se $0 < a < 1$ (esponenziale decrescente), il verso si inverte: equivale a $f(x) \gtrless g(x)$.

Attenzione — Cambio di verso

L’errore più frequente nelle disequazioni esponenziali è dimenticare il cambio di verso quando $0 < a < 1$. Un modo per ricordarselo è pensare al grafico: se la funzione è decrescente, valori più grandi di $x$ corrispondono a valori più piccoli di $y$, e viceversa — quindi un "$<$" sulle $y$ diventa un "$>$" sulle $x$.

Esempio — Base minore di 1

Risolvere $\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{x-1} > \bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{2x+1}$.

La base è $<1$, quindi il verso si inverte: $x - 1 < 2x + 1 \iff -2 < x \iff \boxed{x > -2}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Base · Monotonia
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