Dalle potenze alla funzione esponenziale

In Prima abbiamo definito $a^n$ per $n$ naturale (prodotto di $n$ copie di $a$), e in Seconda lo abbiamo esteso agli esponenti interi negativi ($a^{-n}=1/a^n$), a quelli razionali ($a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$) e abbiamo enunciato le proprietà delle potenze:

$a^x \cdot a^y = a^{x+y},\quad \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad (a^x)^y = a^{xy},\quad (ab)^x = a^x b^x.$

Queste proprietà erano state dimostrate solo per esponenti razionali. In Terza facciamo il passo successivo: accettiamo come fatto (dimostrabile con strumenti dell’Analisi) che $a^x$ sia ben definito per ogni $x\in\mathbb{R}$ — non solo razionale — e che le stesse proprietà continuino a valere. L’oggetto che ne risulta è una funzione vera e propria.

Definizione — Funzione esponenziale

Fissato un numero reale $a > 0$, $a \ne 1$, la funzione esponenziale di base $a$ è $\exp_a:\ \mathbb{R}\to(0;+\infty),\qquad \exp_a(x) = a^x.$

Il dominio è tutto $\mathbb{R}$: possiamo elevare la base a qualunque esponente reale. Il codominio è invece l’insieme dei reali positivi: una potenza a base positiva non è mai nulla né negativa.

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Base · Potenza · Proprieta delle potenze
Funzioni: Funzione esponenziale