Riconoscere una conica

Testo

Riconoscere la conica $x^2 - 4y^2 - 2x - 8y - 7 = 0.$

Soluzione

I coefficienti dei termini quadratici sono $A=1$ e $B=-4$: hanno segno opposto, quindi la conica è un’iperbole. Riconosciamo centro ed elementi col completamento del quadrato.

Raggruppiamo e completiamo: $x^2-2x = (x-1)^2-1,$ $-4y^2-8y = -4(y^2+2y) = -4\bigl[(y+1)^2-1\bigr] = -4(y+1)^2+4.$ Sostituendo: $(x-1)^2-1-4(y+1)^2+4-7=0 \;\Longrightarrow\; (x-1)^2-4(y+1)^2=4.$ Dividendo per $4$: $\boxed{\frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(y+1)^2}{1}=1.}$ È un’iperbole di centro $(1;-1)$, con $a^2=4$ ($a=2$) e $b^2=1$ ($b=1$). Poiché $a\ne b$ non è equilatera; i suoi asintoti sono $y+1=\pm\frac{1}{2}(x-1).$

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Completamento del quadrato · Conica · Iperbole
Funzioni: Iperbole
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema geometrico