Asse di un segmento

Testo

Scrivere l’asse del segmento $AB$ con $A(1;3)$, $B(-3;5)$ e verificare che è perpendicolare ad $AB$ e passa per il punto medio $M(-1;4)$.

Soluzione

Un punto $P(x;y)$ appartiene all’asse quando $d(P,A) = d(P,B)$: $\sqrt{(x-1)^2 + (y-3)^2} = \sqrt{(x+3)^2 + (y-5)^2}.$ Elevando al quadrato (entrambi i membri sono distanze, quindi $\ge 0$) e sviluppando: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25.$ I termini $x^2$ e $y^2$ si cancellano; rimane $-2x - 6y + 10 = 6x - 10y + 34$, cioè $8x - 4y + 24 = 0$, ovvero $\boxed{2x - y + 6 = 0} \quad\Longleftrightarrow\quad y = 2x + 6.$ Verifica. Il coefficiente angolare dell’asse è $2$; quello di $AB$ è $m_{AB} = \dfrac{5-3}{-3-1} = -\dfrac{1}{2}$. Poiché $2 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = -1$, l’asse è perpendicolare ad $AB$. Inoltre in $M(-1;4)$: $2(-1) - 4 + 6 = 0$, quindi l’asse passa per il punto medio. ✓

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Asse di segmento · Distanza tra punti · Equazione della retta · Piano cartesiano · Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico