Definizione unificante delle coniche

Le definizioni di parabola, ellisse e iperbole come luogo geometrico non sono isolate: tutte e tre sono istanze di un unico schema. Anticipiamo brevemente.

• Parabola: punti con $d(P,F) = d(P,d)$ (un fuoco, una direttrice).
• Ellisse: punti con $d(P,F_1) + d(P,F_2) = \text{costante}$ (due fuochi, somma costante).
• Iperbole: punti con $\bigl|d(P,F_1) - d(P,F_2)\bigr| = \text{costante}$ (due fuochi, differenza in valore assoluto costante).
• Circonferenza: punti con $d(P,C) = R$ (un centro, distanza costante). È in realtà un caso limite di ellisse con $F_1 = F_2 = C$.

Il filo rosso: tutte le coniche sono definite da distanze. È per questo che il loro studio analitico passa sempre per la formula $\sqrt{\cdots}$ e per l’elevamento al quadrato — e per questo motivo il capitolo sulle disequazioni irrazionali era così importante.

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Circonferenza · Conica · Distanza tra punti · Ellisse · Fuoco · Iperbole · Parabola · Piano cartesiano
Competenze: Geometria analitica