Esempio — Distanza fissata

Quando la condizione riguarda la distanza da un punto, si applica la formula della distanza punto–retta e si ottiene una disequazione (o equazione) nel parametro $k$.

Esempio — Distanza fissata

Nel fascio $f_k:\ x - ky + k + 2 = 0$, determinare per quali $k$ la distanza tra la retta del fascio e il punto $Q(1;2)$ è minore di $1$.

Distanza. Scriviamo la retta in forma implicita $1\cdot x + (-k)\cdot y + (k+2) = 0$ e applichiamo la formula della distanza punto–retta: $d(Q, f_k) = \frac{|1\cdot 1 - k\cdot 2 + k+2|}{\sqrt{1^2 + (-k)^2}} = \frac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}}.$

Disequazione. $\dfrac{|3-k|}{\sqrt{1+k^2}} < 1$. Il denominatore è strettamente positivo, quindi si può portare al numeratore: $|3-k| < \sqrt{1+k^2}.$ Entrambi i membri sono $\ge 0$, siamo nel caso “scorciatoia” del capitolo precedente: eleviamo al quadrato direttamente. $(3-k)^2 < 1+k^2 \iff 9-6k+k^2 < 1+k^2 \iff k > \tfrac{4}{3}.$

Soluzione: $\boxed{k > \tfrac{4}{3}}$.

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Distanza punto retta · Equazione implicita · Fascio di rette · Parametro del fascio · Retta
Funzioni: Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere disequazioni · Usare formule