Esercizio svolto — Disequazione fratta con radicale

Testo

Classifica e risolvi: $\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{x-3}\le 0.$

Soluzione

È una disequazione fratta con radicale: si studia il segno di numeratore e denominatore.

CE globali: $x^2-4\ge 0 \iff x\le -2 \vee x\ge 2$, e $x-3\ne 0 \iff x\ne 3$.

Numeratore $\sqrt{x^2-4}$: è $\ge 0$ ovunque esista, e vale $0$ solo in $x=\pm 2$.

Denominatore $x-3$: negativo per $x<3$, positivo per $x>3$.

La frazione è $\le 0$ quando il numeratore è nullo (punti $x=\pm 2$, che danno valore $0$), oppure quando numeratore positivo e denominatore negativo. Combinando con le CE:

• $x\le -2$: numeratore $\ge 0$, denominatore $<0$ $\Rightarrow$ frazione $\le 0$ ✓
• $2\le x<3$: numeratore $\ge 0$, denominatore $<0$ $\Rightarrow$ frazione $\le 0$ ✓
• $x>3$: numeratore $>0$, denominatore $>0$ $\Rightarrow$ frazione $>0$ ✗ (e $x=3$ è escluso dalle CE)

Soluzione: $\boxed{\,x\le -2 \ \vee\ 2\le x<3\,}$.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione fratta · Disequazione irrazionale · Tabella del segno
Metodi: Studio del segno
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione