Esempio — radice maggiore di una retta

Vediamo il metodo dei due casi all’opera su una disequazione di Tipologia II.

Esempio — $\sqrt{x+1}\ge -6x+3$

Caso 1: $-6x+3<0 \iff x>\tfrac12$. Insieme a $x+1\ge 0$, cioè $x\ge -1$, otteniamo $x>\tfrac12$.

Caso 2: $\begin{cases} x+1\ge 0 \\ -6x+3\ge 0 \\ x+1 \ge (-6x+3)^2 = 36x^2-36x+9 \end{cases} \iff \begin{cases} x\ge -1 \\ x\le \tfrac12 \\ 36x^2-37x+8\le 0 \end{cases}$ La terza disequazione: $\Delta = 37^2-4\cdot 36\cdot 8 = 1369-1152 = 217$. Gli zeri sono $x_{1,2} = \frac{37\pm\sqrt{217}}{72} \approx \frac{37\pm 14{,}73}{72} \implies x_1\approx 0{,}31,\quad x_2\approx 0{,}72.$ Quindi $36x^2-37x+8\le 0$ per $0{,}31 \le x \le 0{,}72$. Intersecando con $x\ge -1$ e $x\le \tfrac12 = 0{,}5$ si ottiene $0{,}31 \le x \le 0{,}5$.

Unione Caso 1 $\cup$ Caso 2: $x>\tfrac12 \ \cup\ [0{,}31,\ 0{,}5]$, che riuniti diventano $\boxed{\,x\ge 0{,}31\,}$ (formalmente $x\ge \frac{37-\sqrt{217}}{72}$).

La curva blu, $y=\sqrt{x+1}$, parte da $(-1;0)$ e cresce lentamente. La retta rossa $y=-6x+3$ è decrescente: a sinistra è sopra la radice, a destra finisce sotto. La disequazione chiede i punti in cui la blu è sopra o sulla rossa: la soluzione è tutta la zona a partire dal punto di intersezione $x\approx 0{,}31$.

$y=\sqrt{x+1}$ contro $y=-6x+3$: la soluzione è la zona in cui la radice è sopra o sulla retta, a partire da $x\approx 0{,}31$.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Elevamento al quadrato
Metodi: Disequazione irrazionale casistica
Competenze: Interpretare grafico · Ragionare per casi · Risolvere disequazioni