Il metodo per la radice minore — Tipologia I

Consideriamo una disequazione in cui la radice è al primo membro e il secondo membro è un’espressione senza radicale: $\sqrt{A(x)}\le B(x).$

Ragioniamo: il primo membro $\sqrt{A(x)}$, quando esiste, è sempre $\ge 0$. Se $B(x)$ è negativo, allora una quantità non negativa non potrà mai essere minore o uguale a una negativa: la disequazione non ha soluzioni in quella zona. Dobbiamo quindi pretendere $B(x)\ge 0$. Una volta assicurato che entrambi i membri sono non negativi, possiamo elevare al quadrato conservando il verso.

In sintesi — Metodo per $\sqrt{A(x)}\le B(x)$

La disequazione è equivalente al sistema $\begin{cases} A(x)\ge 0 & \text{(CE: esiste la radice)} \\ B(x)\ge 0 & \text{(il secondo membro è non negativo)} \\ A(x)\le \bigl(B(x)\bigr)^2 & \text{(elevamento al quadrato)} \end{cases}$ Le tre condizioni vanno intersecate. Se la disequazione è stretta ($<$) valgono sempre disuguaglianze strette; se è $\le$, tutto resta con l’uguale.

Le tre condizioni raccontano una storia precisa: la prima garantisce che la radice esista, la seconda che il confronto abbia senso, la terza confronta effettivamente i valori. Ometterne una qualsiasi porta a errori.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale
Metodi: Disequazione irrazionale casistica · Elevamento al quadrato
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni