Rettangolo di area massima a perimetro fissato

Testo

Tra tutti i rettangoli con perimetro $24$, quale ha area massima?

Soluzione

Indichiamo con $x$ e $y$ i lati del rettangolo. Dal perimetro fissato ricaviamo un lato in funzione dell’altro: $24 = 2x + 2y \implies y = 12 - x.$ L’area, espressa in funzione di $x$, è allora $\text{Area} = x(12 - x) = -x^2 + 12x,$ cioè una parabola con la concavità rivolta verso il basso: il suo valore massimo si ha nel vertice. $x = -\frac{12}{2\cdot(-1)} = 6, \qquad y = 12 - 6 = 6.$ Il rettangolo con area massima è dunque un quadrato di lato $6$, con area $\boxed{36}$.

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Area · Massimo · Parabola · Perimetro
Competenze: Geometria sintetica · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema geometrico · Problema modellizzazione