Somma di tre moduli minore di 4 (|x|+|x-1|+|x-2| < 4)

Testo

Risolvi la disequazione $|x|+|x-1|+|x-2|<4$. (Suggerimento: la somma è minima in $x=1$ e vale $2$.)

Soluzione

Tabella dei segni: gli argomenti cambiano segno in $x=0$, $x=1$, $x=2$.

• $x<0$: $-x-(x-1)-(x-2)=-3x+3<4 \iff x>-\frac13$, cioè $-\frac13<x<0$;
• $0\le x<1$: $x-(x-1)-(x-2)=-x+3<4 \iff x>-1$, sempre vero, tutto $[0,1)$;
• $1\le x<2$: $x+(x-1)-(x-2)=x+1<4 \iff x<3$, tutto $[1,2)$;
• $x\ge2$: $x+(x-1)+(x-2)=3x-3<4 \iff x<\frac73$, cioè $2\le x<\frac73$.

Unione: $\boxed{-\dfrac13<x<\dfrac73}$.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Disequazioni valore assoluto · Tabella dei segni · Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione