Somma di due moduli minore o uguale a 6 (|x-1|+|x+2| ≤ 6)

Testo

Risolvi la disequazione $|x-1|+|x+2|\le6$.

Soluzione

C’è una somma di due moduli: si usa la tabella dei segni. Gli argomenti cambiano segno in $x=1$ e $x=-2$.

• $x<-2$: $-(x-1)-(x+2)\le6 \iff -2x-1\le6 \iff x\ge-\frac72$, cioè $-\frac72\le x<-2$;
• $-2\le x<1$: $-(x-1)+(x+2)=3\le6$, sempre vero, tutto $[-2,1)$;
• $x\ge1$: $(x-1)+(x+2)\le6 \iff 2x+1\le6 \iff x\le\frac52$, cioè $1\le x\le\frac52$.

Unione: $\boxed{-\dfrac72\le x\le\dfrac52}$.

Geometricamente: $|x-1|+|x+2|$ è la somma delle distanze di $x$ dai punti $1$ e $-2$; poiché la loro distanza è $3$, la somma vale al più $6$ finché $x$ resta a distanza $\frac{6-3}{2}$ dall’intervallo $[-2,1]$.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Disequazioni valore assoluto · Tabella dei segni · Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione