Disequazione con modulo di trinomio (|x²-5x+6| ≥ 2x-3)

Testo

Risolvi la disequazione $|x^2-5x+6|\ge2x-3$.

Soluzione

È del tipo $|A|\ge B$ con $B=2x-3$, che può essere negativo: bisogna distinguere i casi.

Caso (a): $2x-3<0 \iff x<\frac32$. Un modulo è sempre $\ge0$, quindi la disequazione è sempre vera: $S_a=\left(-\infty;\frac32\right)$.

Caso (b): $x\ge\frac32$. Allora $x^2-5x+6\ge2x-3\ \lor\ x^2-5x+6\le-(2x-3)$:

• $x^2-7x+9\ge0 \iff x\le\dfrac{7-\sqrt{13}}{2}\ \lor\ x\ge\dfrac{7+\sqrt{13}}{2}$;
• $x^2-3x+3\le0$: $\Delta=9-12<0$, mai verificata.

Intersecando la prima con $x\ge\frac32$: $S_b=\left[\frac32;\dfrac{7-\sqrt{13}}{2}\right]\cup\left[\dfrac{7+\sqrt{13}}{2};+\infty\right)$.

Unione $S_a\cup S_b$: $\boxed{x\le\dfrac{7-\sqrt{13}}{2}\ \lor\ x\ge\dfrac{7+\sqrt{13}}{2}}$.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Disequazioni valore assoluto · Valore assoluto
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione