Casi misti con due valori assoluti

Quando in una disequazione compaiono due valori assoluti, del tipo $|A(x)|$ e $|B(x)|$, non possiamo applicare gli schemi a un solo modulo: serve un’analisi a casi sui segni dei due argomenti, oppure un trucco algebrico.

Trucco algebrico “quadratura”. Quando entrambi i membri sono valori assoluti, $|A|\lessgtr|B|$ (oppure $|A|=|B|$), elevando al quadrato si conserva il verso, perché sono entrambi $\ge0$: la disequazione equivale a $A^2\lessgtr B^2$, cioè $(A-B)(A+B)\lessgtr0$, che si studia con la tabella dei segni. L’idea del “quadrato come scorciatoia per uscire dal valore assoluto” è una delle euristiche di base discusse da Esty.

Proprietà — Casistica per $|A|<|B|$ e $|A|=|B|$

• $|A|=|B| \iff A=B\ \lor\ A=-B$ (i due moduli coincidono se gli argomenti sono uguali o opposti);
• $|A|<|B| \iff A^2<B^2 \iff (A-B)(A+B)<0$;
• $|A|\le|B| \iff (A-B)(A+B)\le0$.

Esempio — $|x-1|=|2x+3|$

Equivale a $x-1=2x+3\ \lor\ x-1=-(2x+3)$:

• $x-1=2x+3 \implies x=-4$;
• $x-1=-2x-3 \implies 3x=-2 \implies x=-\frac23$.

Soluzione: $\boxed{x=-4\ \lor\ x=-\frac23}$.

Esempio — $|x-1|<|2x+1|$ con la quadratura

$(x-1)^2<(2x+1)^2 \iff (x-1)^2-(2x+1)^2<0$. Con la differenza di quadrati: $\bigl[(x-1)-(2x+1)\bigr]\bigl[(x-1)+(2x+1)\bigr]=(-x-2)(3x)=-3x(x+2)<0,$ cioè $x(x+2)>0$. Soluzione: $\boxed{x<-2\ \lor\ x>0}$.

Discussione a casi sui segni. Quando il trucco della quadratura non si applica (per esempio $|A|+|B|=C$ con $C$ costante), si compila la tabella dei segni di $A$ e di $B$: ogni regione individua una versione “senza moduli” della disequazione.

Esempio — $|x-2|+|x+1|=5$

Studio dei segni: $A=x-2$ cambia in $x=2$; $B=x+1$ cambia in $x=-1$. Tre regioni:

• $x<-1$ ($A<0,\ B<0$): $-(x-2)-(x+1)=5 \implies -2x+1=5 \implies x=-2$ (compatibile);
• $-1\le x<2$ ($A<0,\ B\ge0$): $-(x-2)+(x+1)=5 \implies 3=5$, falso, nessuna soluzione;
• $x\ge2$ (entrambi $\ge0$): $(x-2)+(x+1)=5 \implies 2x-1=5 \implies x=3$ (compatibile).

Soluzione: $\boxed{x=-2\ \lor\ x=3}$.

Interpretazione geometrica: $|x-2|+|x+1|$ è la somma delle distanze di $x$ dai punti $2$ e $-1$ sulla retta reale. Poiché tra $2$ e $-1$ la distanza è $3$, la somma vale $5$ quando $x$ sta all’esterno dell’intervallo $[-1,2]$, a distanza $\frac{5-3}{2}=1$: si ottiene $x=-2$ oppure $x=3$.

Esempio — $|x|+|x-3|<5$

Tabella dei segni di $x$ e di $x-3$:

• $x<0$: $-x-(x-3)<5 \iff -2x+3<5 \iff x>-1$, cioè $-1<x<0$;
• $0\le x<3$: $x-(x-3)<5 \iff 3<5$, sempre vero, tutto $[0,3)$;
• $x\ge3$: $x+(x-3)<5 \iff 2x<8 \iff x<4$, cioè $3\le x<4$.

Unione: $\boxed{-1<x<4}$.

In sintesi — Tabella decisionale "casi misti"

Forma della disequazione	Metodo consigliato
$\lvert A\rvert \lessgtr \lvert B\rvert$	quadratura $\to (A-B)(A+B)\lessgtr0$
$\lvert A\rvert = \lvert B\rvert$	$A=B\ \lor\ A=-B$
$\lvert A\rvert+\lvert B\rvert \lessgtr C$	tabella dei segni di $A$ e di $B$
$\lvert A\rvert\cdot\lvert B\rvert \lessgtr C$	sostituire con $\lvert AB\rvert \lessgtr C$ (schema $\lvert F\rvert \lessgtr k$)
$\lvert A\rvert \lessgtr B$ con $B$ qualsiasi	casistica sui segni di $B$ (casi particolari 1 e 2)

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Disequazioni valore assoluto · Distanza sulla retta · Retta · Tabella dei segni · Valore assoluto
Metodi: Valass casi misti
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni