Caso Delta zero — parabola tangente

Con $\Delta=0$ la parabola è tangente all’asse $x$ in un solo punto: lì il valore è esattamente zero. Il verso della disequazione (stretto o largo) fa allora tutta la differenza nel punto di tangenza.

Esempio — Caso $\Delta = 0$, parabola tangente

Risolvere $x^2-6x+9 \ge 0$.

Notiamo che $x^2-6x+9 = (x-3)^2$. $\Delta = 36-36 = 0$: la parabola è tangente all’asse $x$ in $x_0=3$.

La parabola tocca l’asse $x$ solo in $x=3$, dove vale esattamente $0$.

Un quadrato è sempre $\ge 0$: la disequazione è soddisfatta per tutti gli $x$. Soluzione: $\boxed{\forall x\in\mathbb{R}}$.

Variazione: la stessa parabola, con la disequazione $(x-3)^2 > 0$ (stretta!), ha soluzione $\boxed{x\neq 3}$ — in $x=3$ il valore è esattamente zero, non strettamente positivo.

Altra variazione: $(x-3)^2 \le 0$ ha come unica soluzione $\boxed{x=3}$ (il valore è $\le 0$ solo nel punto di tangenza). E $(x-3)^2 < 0$ ha soluzione $\boxed{\emptyset}$.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Discriminante · Disequazione secondo grado · Parabola
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni