Caso Delta negativo — parabola sempre positiva

Uno dei casi che confondono gli studenti: “ma se la parabola non tocca mai l’asse $x$, qual è la soluzione?”. Con $\Delta<0$ la parabola non ha zeri e sta tutta da una parte, secondo il segno di $a$.

Esempio — Caso $\Delta < 0$, parabola sempre positiva

Risolvere $x^2+2x+5 > 0$.

$\Delta = 4-20 = -16 < 0$: la parabola non interseca l’asse $x$. Poiché $a=1>0$, sta sempre sopra.

La parabola sta interamente sopra l’asse $x$: è positiva per ogni valore di $x$.

Soluzione: $\boxed{\forall x\in\mathbb{R}}$ (l’insieme di tutti i numeri reali). Se la richiesta fosse stata $x^2+2x+5 \le 0$, la risposta sarebbe stata $\boxed{\emptyset}$ (nessuna soluzione).

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni
Concetti: Discriminante · Disequazione secondo grado · Parabola
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni