Disequazione fratta di primo grado

Con una disequazione fratta non possiamo liberarci del denominatore moltiplicando: non ne conosciamo il segno! Un primo approccio, prima di introdurre la tabella dei segni, è ragionare per casi su quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno.

Esempio — Disequazione fratta di primo grado

Risolvere $\dfrac{2x+1}{x-3} > 0$.

Attenzione: non possiamo moltiplicare per $x-3$ senza sapere il suo segno! Per ora osserviamo che il rapporto è positivo quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno:

• Entrambi positivi: $2x+1 > 0$ e $x-3 > 0 \implies x > -\frac{1}{2}$ e $x > 3 \implies x > 3$.
• Entrambi negativi: $2x+1 < 0$ e $x-3 < 0 \implies x < -\frac{1}{2}$ e $x < 3 \implies x < -\frac{1}{2}$.

Soluzione: $\boxed{x < -\tfrac{1}{2} \;\text{oppure}\; x > 3}$.

Il metodo sistematico (la tabella dei segni) generalizzerà questo ragionamento a qualunque disequazione razionale.

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Argomenti: Disequazioni
Concetti: Disequazione fratta · Disequazione primo grado · Studio del segno
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni