La spirale di triangoli simili

Una configurazione di figure simili che si rimpiccioliscono con rapporto costante genera una somma di aree che è una serie geometrica: se il rapporto è minore di 1, la somma converge a un valore finito.

Esempio — Spirale di triangoli simili ("paguro")

Una spirale di triangoli rettangoli consecutivi, ciascuno costruito sull’ipotenusa del precedente, con rapporto di similitudine $k$.

Se l’area del primo triangolo è $A_1$, le aree successive sono: $A_1,\; k^2 A_1,\; k^4 A_1,\; k^6 A_1,\; \ldots$ La somma degli infiniti triangoli è una serie geometrica: $A_{\text{tot}} = A_1\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(k^2)^n = \frac{A_1}{1-k^2}, \qquad |k|<1.$

Esempio — Un caso numerico

Con $k=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $A_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $A_{\text{tot}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1-3/4} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/4} = 2\sqrt{3}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni secondo grado
Concetti: Serie geometrica · Similitudine
Competenze: Modellizzare · Usare formule